数理・情報一般
数学の現在・過去・未来
空間内の奇妙な図形
坪井 俊
2003年10月20日











次のような図形の性質についての解説。

1.シェルピンスキーのガスケット
2.シェルピンスキーのカーペット
3.メンガーの曲線
4.ソレノイド
5.円周

(シェルピンスキーのガスケット)の和集合の閉包としての定義

辺の中点を結ぶ三角形を順に加えていく。その和集合の閉包をとる。

閉包とは、その上の点列の収束先を付け加えたものである。


(シェルピンスキーのガスケット)の補集合(共通部分)としての定義

三角形から中央の三角形の内部を取り除く。そのように順に取り除いた残りを考える。
 

どちらも図に書くと同じ様になる。
 


 

(シェルピンスキーのカーペット)の和集合の閉包としての定義

正方形を9等分する線分を書き、中央以外の正方形に対して
9等分する線分を書く。それらの和集合の閉包をとる。

(シェルピンスキーのカーペット)の補集合(共通部分)としての定義

正方形から中央の9分の1の正方形の内部を取り除く。
そのように順に取り除いた残りを考える。



 
 

(メンガーの曲線)の和集合の閉包としての定義
 


 

(メンガーの曲線)の補集合(共通部分)としての定義
 

(ソレノイド)の共通部分としての定義


 

1-5の共通の性質:  
コンパクト(有界閉集合)  
1次元  
連結

この場合の連結とは、2つの{0,1}の2つの値しか取らない連続関数は、定数関数となることである。

1-5のうち、2つはあるもう一つの性質を持っている。
 

定理。1次元、連結、局所連結コンパクト距離空間で、どの点の近傍も同相であるものは 円周か、メンガーの曲線である。