2003 年度 幾何学 I  講義予定、演習問題


講義内容 復習問題 演習問題 問題のDVIファイル 問題のPSファイル 問題のPDFファイル
4月9日 多様体論について、逆写像の定理、陰関数定理 平面上の関数について陰関数定理、平面から平面への写像についての逆写像定理、2次曲面 ヤコビ行列、1次元位相多様体(2次元位相多様体)、滑らかな曲線 DVI PS PDF
4月16日(午前演習、午後講義) 逆写像の定理、陰関数定理の証明、曲線、曲面 空間上の関数、空間から平面への写像についての陰関数定理、滑らかな写像 滑らかな写像の合成、滑らかな曲面 DVI PS PDF
4月23日 ユークリッド空間の中の多様体、その接空間 平面上の関数の最大最小、位相の復習 球面上の関数、カスプ DVI PS PDF
4月30日 多様体の定義、多様体の例 商空間、ハウスドルフ空間(関数による分離) ユークリッド空間の有界閉集合、ハウスドルフ性 DVI PS PDF
5月7日 射影空間、有限変換群 コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続単射、曲線と接ベクトル 実射影空間、複素射影空間、有限変換群 DVI PS PDF
5月14日 滑らかな関数、滑らかな写像、多様体上の曲線、接ベクトル、接空間 滑らかな関数、滑らかな写像の像 座標近傍の貼り合わせ DVI PS PDF
5月21日 接写像、部分多様体、サブマーション ベクトル空間の次元、関数の割り算 ファイバー束のハウスドルフ性、行列群、リーマン球面 DVI PS PDF
5月28日 接束、多様体上の関数 コンパクトハウスドルフ空間は正規空間、コンパクトハウスドルフ空間の開被覆 直交群、リー群、方向微分 DVI PS PDF
6月4日 コンパクト多様体はユークリッド空間に埋め込まれる。正則値、臨界値 測度0の集合、カントール集合、無理数回転 最大値、最小値、部分多様体の横断的交わり DVI PS PDF
参考プリント

サードの定理、モース関数の存在、モースの補題。

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6月11日 10 モース関数、関数のレベルサーフェス、多様体上のフロー、多様体上の常微分方程式、ベクトル場。 正規形の常微分方程式、線形常微分方程式 軌道、トーラス上のモース関数、常微分方程式の解の初期値に対する微分可能性 DVI PS PDF
6月18日 11 常微分方程式の解の存在と一意性、初期値に対する連続性、微分可能性 行列の指数関数、局所的なフロー 多様体の向き付け、円周 DVI PS PDF
6月25日 12 コンパクト多様体上のベクトル場は完備であること。 群の作用、テイラー展開、常微分方程式の解の初期値に対するリプシッツ連続性、 ホップファイバー空間、複素射影空間上のモース関数 DVI PS PDF
7月2日 13 リーマン計量、測地線、 2次形式の符号、ユークリッド空間の線分の最短性 球面上の曲線の長さ、大円の測地性、リーマン計量の存在、有限群作用、法束 DVI PS PDF
7月9日 14 モース理論 トーラスの写像、写像とベクトル場、フローに横断的な多様体、分解合同 グラディエントフロー、リーブラケット、Exponential Map、沈め込みはファイブレーション、リー群のリー代数 DVI PS PDF
7月16日 15 ベクトル場のなすリー代数、リー群、等質空間




9月22日
試験

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12月10日
追試験

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4 月30日実施のアンケートの集計結果

7 月16日実施のアンケートの集計結果

講義のノート 多様体論について
         逆写像定理陰関数定理
         ユークリッド空間の中の多様体
                    多様体の定義
                    接空間
                    多様体上の関数
                    多様体上のベクトル場とフロー
                    多様体上の曲線の長さ
         
         
演習の時間について
2003年度 幾何学特別演習 I は原則として、数題の演習問題を解き、その時間中または次の週までに提出すること。
原則として私が添削し、提出された翌週に返却します。

成績は筆記試験により判定する。このとき、成績が必ずしも良くなかった場合、演習問題の解答の提出状況を大きく考慮する。
 
参考書: 松島与三 多様体入門 裳華房 数学選書  ISBN:4785313056 多様体論について、研究者としても必要な事柄はほとんどすべて書かれている

松本 幸夫 多様体の基礎 東京大学出版会基礎数学〈5〉  ISBN:4130621033 理学部数学科3年生、4年生向けに書かれた教科書

予備知識について

教養学部2年生の講義「数理科学T」あるいは「数理科学V」、 「数理科学U」あるいは「数理科学W」 の教科書、参考書は適宜参照してください。

また、4学期の「集合と位相」の内容は、復習しながら使っていきますが、 これも教科書、参考書を適宜参照すること。

この講義は、録画する予定です。講義は、http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/lecture/2003tsuboi/
で参照することが出来ます。